Основания математики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы.
С античности и приблизительно до конца 17 века источником, описывающим основные понятия и методы математики считался трактат Евклида «Начала» (ок. 300 г. до н. э.). В нём геометрия и теория чисел представлялись как единая аксиоматическая система (на уровне строгости того времени), в которой из исходных предположений (постулатов или аксиом) с помощью выделенного набора логических средств выводились следствия о свойствах первичных понятий (точка, прямая, число и т. д.) и конструируемых из них объектов (геометрические фигуры). Несмотря на отмечавшиеся ещё в античности пробелы в рассуждениях Евклида, его построения в целом считались приемлемыми для описания всего здания тогдашней математики, и до Нового времени последовательной критики не вызывали.
Положение стало меняться в конце 17 века с изобретением Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений, логическое обоснование которых долгое время оставалось непроясненным. Оно было получено лишь в середине 19 века стараниями Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса, Бернгарда Римана и других математиков на основе предложенного Коши понятия предела, причем проведенный в связи с этим анализ выявил необходимость более детальной, чем у Евклида, систематизации элементарных свойств чисел.
Одновременно с этим появились свидетельства в пользу необходимости пересмотра другой части евклидовых построений, а именно, конструкций, описывающих геометрические объекты. Предположения Саккери и Ламберта во второй половине XVIII века, повлекшие за собой открытия Карла Фридриха Гаусса, Николая Лобачевского, Яноша Больяи и Бернгарда Римана показали, что, помимо евклидовой геометрии, опирающейся на, как казалось до этого, наиболее интуитивно очевидные аксиоматические предположения, возможны альтернативные геометрии, выводимые из других аксиом, но с такой же достоверностью способные описывать явления природы.
Возникшее у математиков в связи с этим понимание, что фундамент их науки следует перенести в более глубинные её области, оперирующие с объектами, более простыми, чем числа и геометрические фигуры (но такими, чтобы все остальные математические объекты можно было с их помощью построить), привело в последней четверти 19 века Георга Кантора к созданию теории множеств, быстро завоевавшей популярность в качестве нового языка математики. Однако обнаруженные в начале 20 века противоречия в теории Кантора спровоцировали кризис в математике, выявив необходимость пересмотра её оснований.
Предпринятые вслед за этим исследования в этой области привели к уточнению (формализации) понятий «аксиоматическая система» и «доказательство», перестройке на этой основе математической логики, и к построению формальных аксиоматических теорий множеств, признаваемых ныне фундаментом всей математики.
Содержание 1 Главные идеи и результаты
2 История 2.1 Античный период
2.2 Европа в XVII—XVIII веках
2.3 XIX век 2.3.1 Аксиоматизация математики
2.3.2 Теория множеств и кризис оснований 2.4 XX век 2.4.1 Логицизм
2.4.2 Интуиционизм
2.4.3 Формализм 3 Современное состояние
4 Примечания
5 Литература
Влияние математики на философию и логику